АПРОКСИМАЦІЯ ВУЗЬКИХ ОПЕРАТОРІВ НА ПРОСТОРІ L1 ОПЕРАТОРАМИ З ОДНОВИМІРНИМ ОБРАЗОМ - Попов, M. M.; Фотій, О. Г. (METHODS AND DEVICES OF QUALITY CONTROL, 2024)
Замітка присвячена вивченню апроксимаційних властивостей вузьких операторів, заданих на просторі Лебеґа L1, що діють у довільний банахів простір. Нова властивість, яку ми досліджуємо, полягає в тому, що вузький оператор на ``значній’’ частині області визначення є як завгодно близьким в розумінні операторної норми до оператора з одновимірним образом. ``Значна’’ частина – це підпростір, який є ізометрично ізоморфним до L1, і на якому оператор ``майже’’ досягає своєї норми. Це виглядає дещо несподіваним, адже серед вузьких операторів є ізоморфні вкладення, а на просторі Lp при p>1 кожний лінійний обмежений оператор подається у вигляді суми двох вузьких операторів. Доведення основного результату використовує лему Розенталя про множину векторів простору L1, на якоих лінійний обмежений оператор ``майже’’ досягає своєї норми, а також техніку базисів Шаудера. Наприкінці ми наводимо приклади різного типу вузьких операторів та їх відповідних апроксимацій. Серед них строго вузький оператор, а саме оператор умовного математичного сподівання по відношенню до під-ϭ-алгебри множин X˟[0,1], де X – довільна борелівська підмножина на [0,1], який апроксимується за допомогою свого звуження. Неявно сформульовано відкриту задачу про конструктивну апроксимацію деякого компактного оператора з нескінченновимірними образами, що зображається у вигляді степеневого ряду за степенями двійки та системи Радемахера на відрізку [0,1], та обчислення норми якого обчислювально складна задача.